《中国科学技术大学》 量子顶点代数的结构及其表示理论
　　在本论文中,我们主要研究M(o|¨)bius非局部顶点代数上的不变双线性型,M(o|¨)bius量子顶点代数的正则表示,《中国科学技术大学》以及与椭圆仿射李代数相关的顶点代数. 顶点算子代数上的不变双线性型首先由Frenkel-Huang-Lepowsky [FHL]引入并作了相关的研究.

　　H. Li [Li1]系统研究了顶点算子代数上的对称不变双线性型,并且给出了顶点算子代数上非零对称不变双线性型存在性的判断准则.随后,N. R. Scheithauer [Sc]研究了带有Virasoro元素的顶点超代数上的不变双线性型,H. Tamanoi [T]研究了顶点算子超代数上的对称不变双线性型,以及M. Roitman[R]对顶点代数上的不变双线性型也作了一些研究.在本文的第3章中,我们研究了M(o|¨)bius非局部顶点代数上的不变双线性型,给出了M(o|¨)bius非局部顶点代数上非零不变双线性型存在性的判断准则,我们的结果推广了以上结论.下面是本论文的第一个主要定理: 定理1:设V是一个M(o|¨)bius非局部顶点代数, f是V(0)上的线性函数.通过定义f(V(n)) = 0,对于n=? 0,把f线性扩张成V上的线性函数.对于任意u,v∈V ,定义V上的双线性型且(1,u) = f(u).
　　那么这个双线性型是不变的当且仅当L(1)V(1)∈kerf.进一步地, V上不变双线性型组成的空间自然地同构于V(0)/L(1)V(1)的对偶空间.在[Li4]中, Li发展和研究了顶点算子代数的正则表示,并把正则表示用于研究Zhu的A(V )-理论、顶点算子代数的诱导模[Li5]和Huang-Lepowsky的张量函子[Li6]等理论,从而取得了一系列有意义的结果.在本论文的第4章中,我们研究了M(o|¨)bius量子顶点代数的正则表示.

　　给定M(o|¨)bius量子顶点代数V ,V -模W以及非零复数z, DP(z)(W)是W·的一个子空间, YP(z)(·,x)是从V (?) V到(EndDP(z)(W))[[x,x~(-1)]]的(惟一)线性映射.下面是本论文的第二个主要定理. 定理2:有序对(DP(z)(W),YP(z))带有一个自然的(V (?) V )op-模结构.类似于仿射李代数,椭圆仿射李代数也是由有限维单李代数构造得到的一类无限维李代数.另一方面,椭圆仿射李代数和仿射李代数都是Krichever-Novikov代数( [KN1, KN2])的特殊例子.

　　我们知道,仿射李代数可以构造一类重要的顶点代数(见[Bo1, FLM, FZ, DL] ).在本论文的第5章中,我们用顶点代数的工具来研究椭圆仿射李代数.设g是C上(可能是无限维)的李代数, g~1是同构于g的线性空间.对于每个多项式p(x)∈C[x],我们在C上构造一个李代数g(?)p = (g⊕g1) (?) C[t,t~(-1)]⊕Ck,某种意义上它是椭圆仿射李代数g(?)e的推广,并且我们在C((z))上还构造了一个李代数gˇp = C((z))(?)(g⊕g1)(?)C[t,t~(-1)]⊕C((z))k.然后我们构造了一个与(g|ˇ)_p和复数(?)相关的顶点C((z))-代数Vˇgp(?,0).

　　下面是本论文的第三个主要定理. 定理3:在水平?的任意限制g(?)p-模W上,存在惟一的0-型Vˇgp(?,0)-模结构,满足另一方面,设(W,YW)是0-型(V|ˇ)gp(-,0)-模.则W是水平?的限制g?p-模,其中且k以常量(?)作用在W上.

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